כל המשפטים בהנדסה/גיאומטריה


ארכז פה לאט לאט את כל המשפטים בגיאומטריה עם  סרטוט הסבר ולפי נושאים וצורות,כך שיהיה לכם  נוח.
מוזמנים להעיר ולבקש.עד שאסיים לערוך הכל אתם מוזמנים להוריד את המשפטים שניתן להשתמש בהם בבגרות מבלי להוכיח:רשימת משפטים בגיאומטריה 

חוצה  זוית:
קטע המחבר קודקוד  במשולש  עם הצלע שמולו וחוצה את הזוית.
שלושת חוצי הזוית במשולש נפגשים בנקודה אחת במשולש.הוכחה
שלושת חוצי הזוית במשולש נפגשים בנקודה אחת במשולש-שזה מרכז מעגל חסום.
קובץ:Triangle.Incircle.png

תיכון:
קטע המחבר קודקוד  במשולש  עם אמצע הצלע  שממולו.

התיכון ליתר במשולש  ישר זוית שווה למחצית היתר.
כל שני תיכונים  במשולש מחלקים זה את זה לשני קטעים כך שהקטע הקרוב לקודקוד גדול פי 2 מהקטע הקרוב לצלע.
שלושת התיכונים במשולש נפגשים בנקודה אחת.
אם במשולש  שני תיכונים שוים זה לזה אז המשולש שו"ש.
תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח  הוכחה


גובה:
קטע המחבר  קודקוד המשולש עם הצלע שמולו  או עם המשכה ומאונך לה.
שלושת הגבהים במשולש נפגשים בנקודה אחת.


במשולש ישר  זוית הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים  שזיותיהם שוות בהתאמה לזויות המשולש המקורי.
הגבהים  לשוקיים  במשולש  שווה שוקיים שוים ביניהם. הוכחה למשפט

אנך אמצעי לצלע:
ישר העובר דרך אמצע צלע במשולש ומאונך לה.
שלושת האנכים האצעים במשולש נפגשים בנקודה אחת  (הוכחה )
שלושת האנכים האצעים במשולש נפגשים בנקודה אחת שהיא גם מרכז מעגל חוסם.

משולש כללי:
סכום הזויות במשולש הוא 180 מעלות.
זוית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזויות הפנימיות שאינן צמודות לה.
סכום שלוש זויות חיצוניות למשולש הוא 360 מעלות.
זוית חיצונית למשולש  גדולה מכל אחת משתי הזויות הפנימיות   שאינן צמודות לה.
מול הצלע הגדולה במשולש נמצאת הזוית הגדולה במשולש.
מול הזוית הגדולה במשולש נמצאת הצלע הגדולה במשולש.
סכום כל שתי צלעות במשולש  גדול מהצלע השלישית.

משולש  שווה שוקיים:
אם במשולש יש שתי זויות  שוות אז הוא שווה שוקיים.

זויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות ביניהן.











במשולש שווה שוקיים חוצה  זוית הראש ,התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים לישר אחד.

אם במשולש    חוצה זוית ותיכון מתלכדים   אז המשולש שו"ש   הוכחה
במשולש  שווה שוקיים חוצי  זויות הבסיס  שוים.
במשולש שווה שוקיים התיכונים לשוקיים שוים. 
במשולש שווה שוקיים הגבהים לשוקיים שוים  זה לזה.הוכחה למשפט


משולש ישר זוית:
במשולש ישר זוית שזויותיו החדות הן  30 ו-60  אז הניצב מול הזוית של ה-30 שווה למחצית היתר.(משולש הזהב ).
התיכון ליתר במשולש  ישר זוית שווה למחצית היתר.הוכחת המשפט
משפט  הפוך:אם במשולש התיכון  לאחת הצלעות  שווה למחצית הצלע שאותה הוא חוצה  אז המשולש   ישר זוית.
במשולש ישר  זוית הגובה ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים  שזיותיהם שוות בהתאמה לזויות המשולש המקורי.


דלתון:
מרובע המורכב משני משולשים שווי שוקיים בעלי בסיס משותף.

האלכסון הראשי בדלתון חוצה את  זויות הראש ,חוצה את האלכסון המשני ומאונך לאלכסון המשני.






















משולש שווה צלעות:
כל אחת מהזויות שוות  60  מעלות ולהיפך.
מרובע:
סכום הזויות במרובע הוא 360 מעלות.

חפיפת  משולשים:
שני משולשים שבהן שוות בהתאמה  שלוש הזויות ושלוש הצלעות.
משפט חפיפה ראשון:(צלע,זוית,צלע)-אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות  והזוית שביניהן  אז המשולשים חופפים.
משפט חפיפה שני:(זוית,צלע,זוית)-אם בשני משולשים שוות בהתאמה צלע ושתי הזויות שלידה  אז המשולשים חופפים.
משפט חפיפה  שלישי:(צלע,צלע,צלע)-אם  בשני משולשים שוות בהתאמה שלוש הצלעות אז המשולשים חופפים.

משפט  חפיפה רביעי: ( צלע ,צלע,זוית מול הגדולה)-אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי צלעות והזוית שמול הצלע הגדולה מהשתיים אז המשולשים חופפים.

מקבילית:
מקבילית-מרובע שכל שתי צלעות נגדיות שלו מקבילות זו לזו.
גובה במקבילית-קטע המחבר שתי צלעות נגדיות במקבילית ומאונך להן  נקרא גובה במקבילית.
h-גובה במקבילית.


כל  שתי זויות  סמוכות במקבילית סכומן  180 מעלות.
a+b=180




כל שתי זויות נגדיות  במקבילית  שוות  זו לזו.

כל שתי צלעות  נגדיות במקבילית שוות זו לזו.

האלכסונים במקבילית  חוצים זה את זה.( הוכחה )


אלכסוני  מקבילית  מחלקים  את המקבילית לארבעה משולשים  שווי שטח (הוכחה )
תכונות שאם מרובע מקיים אז הוא מקבילית:
אם  במרובע  יש זוית אחת שהסכום שלה ושל כל אחת משתי הזויות הסמוכות לה הוא  180 מעלות אז המרובע הוא מקבילית.
אם במרובע  כל שתי זויות נגדיות  שוות זו לזו אז הוא מקבילית.(הוכחת המשפט )
אם במרובע יש זוית אחת  שהסכום שלה ושל כל אחת משתי הזויות הסמוכות לה הו  180  אז המרובע  הוא מקבילית.
אם  במרובע כל שתי צלעות נגדיות שוות זו לזו אז הוא מקבילית.(הוכחה )
אם במרובע האלכסונים חוצים זה את זה אז הוא מקבילית.( הוכחת המשפט )
אם במרובע יש זוג צלעות נגדיות שוות ומקבילות אז הוא מקבילית.
מלבן:
מרובע שכל זויותיו שוות זו לזו נקרא מלבן.
האלכסונים במלבן שווים זה לזה.
האלכסונים במלבן חוצים זה את זה.
כל אחת מזויות המלבן  היא  90 מעלות.
כל שתי צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.


תכונות שאם מרובע מקיים אז הוא מלבן:
מקבילית  שבה האלכסונים שוים זה לזה היא מלבן.(הוכחה)
אם במרובע כל  הזויות שוות אז הוא מלבן.
אם במקבילית יש זוית ישרה אז היא מלבן.


מעוין:
מעוין-מקבילית  בעלת שתי צלעות סמוכות שוות נקראת מעוין.
האלכסונים במעוין חוצים את זויות המעוין ומאונכים זה לזה.
מרובע שכל צלעותיו שוות נקרא מעוין.


אלכסוני המעוין מחלקים אותו לארבעה משולשים  ישרי זוית החופפים זה לזה.
סכום כל שתי זויות סמוכות במעוין הוא 180.
כל שתי זויות נגדיות במעוין שוות זו לזו.
כל צלעות המעוין שוות זו לזו.
אלכסוני מעוין חוצים זה את זה,מאונכים זה לזה וחוצים את זויות המעוין.


תכונות שאם מרובע מקיים  אז הוא מעוין:


אם במקבילית אלכסון  חוצה זוית היא מעוין.
אם במקבילית האלכסונים מאונכים זה לזה אז היא מעוין.(הוכחה )
אם במרובע כל הצלעות שוות אז הוא מעויין.
אם במקבילית שתי צלעות סמוכות  שוות זו לזו אז היא מעוין.
ריבוע :
ריבוע-מלבן בעל שתי צלעות סמוכות שוות נקרא ריבוע
מעוין בעל זוית ישרה נקרא ריבוע
מרובע שכל צלעותיו וכל זויותיו שוות נקרא ריבוע.
כל אחת מזויות הריבוע  שווה 90 מעלות.
כל צלעות הריבוע שוות.
האלכסונים בריבוע חוצים זה את זה,שוים זה לזה,חוצים את זויות הריבוע ומאונכים זה לזה.
תכונות שאם  מרובע מקיים הוא ריבוע:
אם במלבן אחד האלכסונים חוצה זוית אז הוא ריבוע.
אם במלבן האלכסונים מאונכים זה לזה אז הוא ריבוע.
אם במעוין האלכסונים שווים זה לזה אז הוא ריבוע.
אם במרובע כל הזויות וכל הצלעות שוות זו לזו אז הוא ריבוע.
אם במרובע האלכסונים שוים זה לזה,חוצים זה את זהואחד האלכסונים חוצה זוית אז הוא ריבוע.
אם במרובע האלכסונים שוים זה לזה,חוצים זה את זה ומאונכים זה לזה,אז הוא ריבוע.
הטרפז:
סכום הזויות ליד כל שוק בטרפז שווה  180 מעלות (כזויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים)
טרפז ישר זוית-טרפז בעל זוית ישרה נקרא טרפז יש"ז.
טרפז שווה שוקיים-טרפז שבו השוקיים שוות זו לזו נקרא טרפז שו"ש.
הזוית שליד כל בסיס בטרפז שו"ש שוות זו לזו.
סכום כל שתי זויות נגדיות בטרפז  שו"ש הוא  180 מעלות.
האלכסונים בטרפז שו"ש שווים ביניהם.
כל ארבע הזויות שבין האלכסונים לבסיסים בטרפז שו"ש  שוות זו לזו.
האלכסונים בטרפז שו"ש חותכים זה את זה כך שהקטעים שעל האלכסונים המחברים את הקצוות של כל בסיס עם נקודת החיתוך של האלכסונים שווים זה לזה.
תכונות שאם טרפז מקיים הוא שווה שוקיים:
אם  בטרפז זויות הבסיס שוות אז הוא שו"ש.
אם בטרפז סכום שתי זויות נגדיות הוא 180 מעלות אז הוא שו"ש.
אם בטרפז האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שו"ש.
קטע אמצעים:
קטע אמצעים במשולש -קטע המחבר אמצעי שתי צלעות במשולש נקרא קטע אמצעים במשולש.
קטע אמצעים במשולש המחבר אמצעי שתי צלעות מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
תכונות שאם קטע מקיים אז הוא ק"א במשולש:
קטע במשולש  היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע השלישית הוא ק"א במשולש.(כלומר הוא מגיע לאמצע הצלע השניה).
קטע המחבר  שתי צלעות במשולש שמקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה הוא ק"א במשולש.
קטע אמצעים בטרפז:
קטע אמצעים בטרפז -הקטע המחבר את אמצעי שתי השוקיים בטרפז נקרא ק"א בטרפז.
ק"א בטרפז מקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם.
תכונות שאם ישר מקיים הוא ק"א בטרפז:
קטע היוצא מאמצע שוק אחת בטרפז ומקביל לבסיסים חוצה את השוק השניה .
קטע המחבר שתי שוקי טרפז שמקביל לבסיסים ושווה למחצית סכומם הוא ק"א בטרפז.


















מעגל:
אנך מאמצע מיתר  במעגל עובר  דרך  מרכז המעגל. הוכחת המשפט
שלושת חוצי הזוית במשולש נפגשים בנקודה אחת במשולש-שזה מרכז מעגל חסום.
קובץ:Triangle.Incircle.png
שלושת האנכים האצעים במשולש נפגשים בנקודה אחת שהיא גם מרכז מעגל חוסם.
על מיתרים שוים נשענות זויות מרכזיות שוות
זויות מרכזיות שוות נשענות על קשתות שוות ולהיפך..הוכחת המשפט
למיתרים שוים מתאימות קשתות שוות ולהיפך.
אם במעגל זוית מרכזית אחת יותר גדולה מזוית מרכזית שניה אז המיתר המתאים לזוית הגדולה יותר גדול מן המיתר המתאים לזוית הקטנה יותר ולהיפך.הוכחה
אנך ממרכז המעגל למיתר במעגל-חוצה את המיתר,חוצה את הזוית המרכזית הנשענת על המיתר וחוצה את הקשת המתאימה למיתר.
קטע  המחבר את מרכז המעגל עם אמצע המיתר -מאונך למיתר.
קטע ממרכז המעגל שחוצה זוית מרכזית -חוצה את המיתר שעליו נשענת הזוית ומאונך לו.
אנך מאמצע מיתר במעגל עובר דרך מרכז המעגל.
מיתרים שווים במעגל נמצאים במרחקים שוים ממרכז המעגל. ( הוכחה  )
מיתרים במעגל הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז-שווים זה לזה. (  הוכחה )
אם במעגל מיתר אחד יותר גדול ממיתר שני אז מרחקו מהמרכז של המיתר הגדול יותר קטן ממרחקו מהמרכז של המיתר הקטן.
זוית מרכזית במעגל גדולה פי 2 מכל זוית היקפית הנשענת על אותה הקשת או המיתר.
זווית היקפית וזווית מרכזית
כל הזויות ההיקפיות במעגל בנשענות על אותה קשת שוות זו לזו.
זוית היקפית הנשענת על קוטר היא זוית ישרה.
על מיתרים שווים במעגל נשענות  זויות היקפיות שוות.
על קשתות שוות נשענות זויות היקפיות שוות.זוויות היקפיות
זוית פנימית במעגל שווה לסכום שתי הזויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזוית ובין המשכיהן.הוכחת המשפט
זוית חיצונית  למעגל שווה להפרש שבין שתי הזויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות הכלואות בין שוקי הזוית.




משיק למעגל מאונך לרדיוס העובר בנקודת ההשקה.


משיק מאונך לרדיוס












ישר המאונך לרדיוס בקצהו הוא משיק למעגל.
שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה. AB=AC

הקטע המחבר את מרכז המעגל עם נקודה ממנה יוצאים שני המשיקים חוצה את הזוית בין המשיקים.(בציור הנ"ל מסומן  באלפא)
זוית הכלואה בין משיק למיתר שווה לזוית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר.
זוית הכלואה בין משיק למיתר שווה למחצית  הזווית  המרכזית הנשענת על אותו ומיתר או למחצית  הקשת הנשענת על אותו מיתר. 
קטע מרכזים במעגל-קטע המחבר את מרכזי שני מעגלים.
קטע מרכזים של שני מעגלים נחתכים או המשכו,חוצה את המיתר המשותף ומאונך לו.


מעגל  חוסם ומעגל חסום:
מרכז מעגל החוסם משולש הוא מפגש האנכים האמצעיים לצלעות המשולש.

מרכז מעגל חסום  במשולש הוא מפגש חוצה  הזווית של המשולש.קובץ:Triangle.Incircle.png

מרובע חסום במעגל:
במרובע החסום במעגל  סכום  כל שתי זויות נגדיות שווה  180 מעלות.
אם במרובע יש זוג אחד של זויות נגדיות שסכומן 180 מעלות אז ניתן לחסום אותו  במעגל.

מרובע חוסם מעגל:
מרובע חוסם מעגל-מרובע שכל צלעותיו משיקות למעגל.
במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני.
אם במרובע סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני אז אפשר לחסום מעגל במרובע.








אם שני מיתרים נחתכם במעגל אז מכפלת קטעי מיתר אחד שווה למכפלת קטעי המיתר השני.



פרופורציה :
משפט תלס: שני ישרים מקבילים  החותכים שוקי זוית מקצים  עליהן קטעים פרופורציונים (  הוכחה )  

משפט תלס  ההפוך: שני ישרים המקצים  על שוקי הזויות קטעים פרופורציונים  מקבילים זה לזה.








פרופורציה במשולש ישר זוית:

הגובה ליתר במשולש ישר זוית מחלק את המשולש לשני משולשים דומים שכל אחד מהם דומה למשולש  המקורי.(הוכחה)

הגובה ליתר במשולש ישר זוית הוא ממוצע גיאומטרי של היטלי הניצבים על היתר. (  הוכחה )


דמיון משולשים :

משפט דמיון ראשון-אם בשני משולשים קיים יחס שווה בין שני זוגות צלעות מתאימות והזוית שביניהן שווה בהתאמה אז המשולשים דומים.( הוכחה )

משפט דמיון שני-אם בשני משולשים שוות בהתאמה שתי זויות אז המשולשים דומים.( הוכחה )




יחס הגבהים במשולשים דומים הוא כיחס הצלעות. ( הוכחה )


שטחים :
שטח משולש שווה למחצית מכפלת הצלע בגובה לצלע ( הוכחה )
שטח טרפז שווה למחצית סכום הבסיסים כפול הגובה ( הוכחה )

רשימת משפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות ללא הוכחה


כל הזכויות שמורות לעובד לב-ארי
Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...
במטרה שהאתר ישמש אתכם בחינם ואף ירחיב את שירותיו,נשמח לקבל תרומה קטנה .בכוונתנו לערוך שיעורים אונליין בחינם וכן להגדיל את מספר הפותרים באתר.אנו מאמינים בנתינה וקבלה .
התרומה נעשית דרך פייפל paypal בצורה מאובטחת וסודית כפי שחברת פייפל העולמית מבצעת
תודה רבה מראש